Задачи на отношения В параллелограмме

ABCD

точка

M

середина стороны

CD

, и известно,

что биссектриса угла

BCD

делит треугольник

ADM

на две части равной площади. Найдите

AD

, если известно, что

AB =4 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть АD = x, точки P,Q пересечения биссектрисы соотв.с АМ и АD. Тогда произведение отношений АР:АМ * АQ:AD = 1/2.

Но трк CDQ равнобедренный, поэтому DQ = СD = 4 и AQ:AD = (x-4)/x. Далее, по теореме Менелая AP:PM * MC:CD * DQ:QA = 1, то есть

АР:РМ * 1/2 * 4/(х-4) = 1, откуда АР:РМ = (х-4)/2. Стало быть АР:АМ = (х-4) / (х-2). Подставляем в равенство выше:

(х-4)(х-4) / х(х-2) = 1/2,

2х^2 - 16х + 32 = х^2 - 2х,

х^2 - 14х + 32 = 0;

х = 7 +- sqrt(17).

Но по условию х>4, поэтому берем с плюсом

Ответ: х = 7 + sqrt(17). (p.s. sqrt - корень квадратный)