Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что произведение двух простых чисел не является полным квадратом.

Пусть p и q - два различных простых числа. Тогда их произведение pq не является полным квадратом, так как тогда должно существовать целое число k, такое что pq = k^2. Однако так как p и q - простые числа, их произведение также является простым числом, и это противоречие.

Теперь докажем по индукции, что произведение n первых простых чисел также не является полным квадратом.

База индукции: для n=2 утверждение уже доказано выше.

Предположение индукции: предположим, что произведение n простых чисел не является полным квадратом.

Шаг индукции: Докажем для n+1 простого числа. Пусть p1, p2, ..., pn - n первых простых чисел. Тогда произведение первых n простых чисел не является полным квадратом по предположению индукции. Докажем, что произведение первых n+1 простых чисел также не является полным квадратом.

Предположим, что произведение первых n+1 простых чисел p1p2...pnp(n+1) = k^2 для некоторого целого k. Тогда p1p2...*pn = k^2/p(n+1). Поскольку произведение первых n простых чисел не является полным квадратом, то это противоречие и мы доказали, что произведение n+1 простых чисел не является полным квадратом.

Таким образом, произведение n первых простых чисел не является полным квадратом для любого натурального n.