Задача по стереометрии. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На ребрах AA1 и BC отмечены точки M и N соответственно, причем AM:MA1=2:1, а N – середина BC. Найдите сечение куба плоскостью DMN. Найдите точное расположение точки K.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек M и N.

Пусть сторона куба равна a, тогда координаты точек
A(0,0,0)
B(a,0,0)
C(a,a,0)
D(0,a,0)
A1(0,0,a)
B1(a,0,a)
C1(a,a,a)
D1(0,a,a).

Так как AM:MA1=2:1, то точка M имеет координаты (0, 0, 2a/3).

Точка N - середина отрезка BC, поэтому ее координаты ((a+a)/2, (0+a)/2, 0), то есть (3a/2, a/2, 0).

Теперь найдем уравнение плоскости DMN. Поскольку точка M лежит в плоскости DMN, вектор DM=(0, 0, 2a/3), а вектор DN=(3a/2, a/2, 0), то нормаль к плоскости DMN равна векторному произведению этих векторов
n = DM x DN = (0i + 0j + 2ak) x (3a/2i + a/2j + 0k) = (2a^2/2)i - (3a^2/2)j.

Так как плоскость проходит через точку D(0, a, 0), то уравнение плоскости имеет вид
2a^2/2(x-0) - 3a^2/2(y-a) + 0(z-0) = 0
a^2x - 3a^2y + 5a^2 = 0
x - 3y + 5a = 0.

Теперь найдем точку пересечения с ребром AD1. Подставим координаты точки D1(0, a, a) в уравнение плоскости
0 - 3a + 5a = 0
a = 0.

Таким образом, точка K имеет координаты (0, a, 0), то есть K лежит на ребре AD1 и расстояние от точки K до плоскости DMN равно 0.

Итак, точное расположение точки K - (0, a, 0).