Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: y=6+x-x^2, x=0, y=2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения этих линий. Подставим уравнение y=6+x-x^2 в уравнение y=2x:

6+x-x^2 = 2x
6+x = 2x+x^2
6 = x + x^2
x^2 + x - 6 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем два решения: x=2 и x=-3.

Теперь выразим y через найденные значения x:

1) При x=2: y=6+2-2^2=6+2-4=4.
Точка пересечения (2,4).

2) При x=-3: y=6-3-(-3)^2=6-3-9=6-12=-6.
Точка пересечения (-3,-6).

Теперь нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=6+x-x^2, x=0, y=2x. Для этого найдем порядок точек пересечения.

1) Площадь фигуры можно разделить на две части: треугольник и площадь под параболой.
2) Точка пересечения x=0, y=2x - точка (0,0).
3) Точка пересечения x=2, y=6+x-x^2 - точка (2,4).
4) Точка пересечения x=-3, y=6+x-x^2 - точка (-3,-6).

Теперь рассчитаем площадь каждой части:

1) Площадь треугольника:
S_тр = 0.5 |(2-0) (4-0)| = 0.5 2 4 = 4.

2) Площадь фигуры под параболой:
∫[a,b] f(x) dx = ∫[-3,2] (6+x-x^2) dx = [6x + 0.5x^2 - (1/3)x^3] | [-3,2] = [(62 + 0.52^2 - (1/3)2^3) - (6(-3) + 0.5(-3)^2 - (1/3)(-3)^3] = [12 + 2 - (8/3) - (-18 -4.5 + 9)] = [14 - (8/3) + 31.5] = 5.5.

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=6+x-x^2, x=0, y=2x, равна сумме площадей треугольника и фигуры под параболой:
S = S_тр + S_ф = 4 + 5.5 = 9.5.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями, равна 9.5.