Решить методом интервала неравенство 1) x^2-3x<0
2) x^2-4x>0
3) x^2+2x>=0
4) -2x^2+x+1<=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Решим неравенство x^2 - 3x < 0.
Сначала найдем корни уравнения x^2 - 3x = 0:
x(x - 3) = 0
x = 0 или x = 3

Получаем два корня 0 и 3. Теперь с помощью метода интервалов разбиваем числорассавитства на 3 интервала: (-∞,0), (0,3), (3,+∞).
Подставляем значение из каждого интервала:
1) (-∞,0): x = -1 => (-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4, результат положительный
2) (0,3): x = 1 => 1^2 - 31 = 1 - 3 = -2, результат отрицательный
3) (3,+∞): x = 4 => 4^2 - 34 = 16 - 12 = 4, результат положительный

Итак, решением неравенства x^2 - 3x < 0 является x принадлежащий интервалу (0,3)

2) Решим неравенство x^2 - 4x > 0.
Сначала найдем корни уравнения x^2 - 4x = 0:
x(x - 4) = 0
x = 0 или x = 4

Получаем два корня 0 и 4. Теперь с помощью метода интервалов разбиваем числовую прямую на 3 интервала: (-∞,0), (0,4), (4,+∞).
Подставляем значения из каждого интервала:
1) (-∞,0): x = -1 => (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5, результат положительный
2) (0,4): x = 1 => 1^2 - 41 = 1 - 4 = -3, результат отрицательный
3) (4,+∞): x = 5 => 5^2 - 45 = 25 - 20 = 5, результат положительный

Итак, решением неравенства x^2 - 4x > 0 являются значения x принадлежащие интервалам (-∞,0) и (4,+∞)

3) Решим неравенство x^2 + 2x ≥ 0.
Функция x^2 + 2x = x(x + 2) имеет два корня x = 0 и x = -2. Разбиваем числовую прямую на 3 интервала: (-∞,-2), (-2,0), (0,+∞).
Подставляем значения из каждого интервала:
1) (-∞,-2): x = -3 => (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3, результат положительный
2) (-2,0): x = -1 => (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1, результат отрицательный
3) (0,+∞): x = 1 => 1^2 + 2*1 = 1 + 2 = 3, результат положительный

Итак, решением неравенства x^2 + 2x ≥ 0 являются значения x принадлежащие интервалам (-∞,-2) и (0, +∞)

4) Решим неравенство -2x^2 + x + 1 ≤ 0.
Данное неравенство можно переписать как 2x^2 - x - 1 ≥ 0.
Корни этого уравнения (находим через дискриминант):
D = 1 + 421 = 9
x = (1 ± √D) / 4 = (1 ± 3) / 4
x1 = 1, x2 = -1/2

Разбиваем числовую прямую на 3 интервала: (-∞, -1/2), (-1/2,1), (1,+∞).
Подставляем значения из каждого интервала:
1) (-∞, -1/2): x = -1 => -2(-1)^2 + (-1) + 1 = -2 + (-1) + 1 = -2, результат отрицательный
2) (-1/2, 1): x = 0 => -20^2 + 0 + 1 = 1, результат положительный
3) (1, +∞): x = 2 => -2*2^2 + 2 + 1 = -8 + 2 + 1 = -5, результат отрицательный

Итак, решением неравенства -2x^2 + x + 1 ≤ 0 является интервал (-1/2, 1)