Доказать, что решения неравенства вида |f(x)| >= g(x) Доказать, что множество решений неравенства вида |f(x)| >= g(x) совпадает с множеством решений совокупности f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что множество решений неравенства |f(x)| >= g(x) содержит все решения системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x).

Пусть x - решение системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x). Тогда |f(x)| = f(x) при f(x) >= 0 и |f(x)| = -f(x) при f(x) < 0.

Таким образом, |f(x)| >= g(x) при f(x) >= 0 (так как f(x) >= g(x)) и |f(x)| >= g(x) при f(x) < 0 (так как -f(x) >= g(x) => |f(x)| >= g(x)).

Значит, множество решений системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x) содержится в множестве решений неравенства |f(x)| >= g(x).

Теперь докажем обратное утверждение, что все решения неравенства |f(x)| >= g(x) содержатся в множестве решений системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x).

Пусть x - решение неравенства |f(x)| >= g(x), тогда либо f(x) >= g(x), либо f(x) <= -g(x), так как иначе |f(x)| < g(x).

Таким образом, x является решением неравенства |f(x)| >= g(x) только в случае, если x - решение системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x).

Таким образом, множество решений неравенства |f(x)| >= g(x) совпадает с множеством решений системы f(x) >= g(x) и f(x) <= -g(x).