Решить дробно рациональное уравнения (2х-3)(2х+3)/16-х в квадрате меньше больше нуля

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала упростим выражение (2x-3)(2x+3) и выведем его в виде a^2-b^2:

(2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9

Заменим данное выражение в исходное уравнение и получим новое уравнение:

(4x^2 - 9)/(16-x) > 0

Факторизуем числитель:

(2x-3)(2x+3)/(16-x) > 0

Теперь разберемся с знаменателем и числителем. Найдем нули функций 16-x, 2x-3 и 2x+3:

16 - x = 0
x = 16

2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

2x + 3 = 0
2x = -3
x = -3/2

Теперь отметим эти точки на числовой прямой и построим знаки выражения (2x-3)(2x+3)/(16-x):

---o-----o-----o---

Теперь определим знак выражения между нулями:

Если x < -3/2, то оба множителя (2x-3) и (2x+3) отрицательны.
Таким образом, (2x-3)(2x+3) > 0 при x < -3/2.

Если -3/2 < x < 3/2, то первый множитель (2x-3) отрицателен, а второй (2x+3) положителен.
Таким образом, (2x-3)(2x+3) < 0 при -3/2 < x < 3/2.

Если x > 3/2, то оба множителя (2x-3) и (2x+3) положительные.
Таким образом, (2x-3)(2x+3) > 0 при x > 3/2.

Итак, корни уравнения в данном случае равно -3/2, 3/2, 16. Уравнение (2x-3)(2x+3)/(16-x) > 0 справедливо при x < -3/2 или x > 3/2.