Задача по геометрии Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Площадь большего круга равна 64 см^2 . Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус описанной окружности равен R, радиус вписанной окружности равен r, а сторона треугольника равна a.

Так как треугольник равносторонний, то радиус описанной окружности равен a/√3, а радиус вписанной окружности равен a/(2√3).

Площади большего кругa и меньшего круга связаны следующим образом: R^2 = 3r^2.

По условию задачи площадь большего круга равна 64 см^2, то есть πR^2 = 64 => R^2 = 64/π.

Таким образом, получаем систему уравнений:

R^2 = 3r^2
R^2 = 64/π

Подставляем первое уравнение во второе и находим значение радиуса описанной окружности R:

3r^2 = 64/π
r^2 = 64/(3π)

Теперь найдем площадь треугольника с помощью формулы:

S = (a^2 * √3)/4

Так как радиус вписанной окружности равен a/(2√3), подставляем в формулу:

r = a/(2√3)
a = 2r√3

Итак, площадь треугольника равна:

S = (4r^2 √3)/4 = r^2 √3 = (64/(3π)) * √3 ≈ 5.91 см^2

Ответ: 5,91 см^2.