Геометрия [планиметрия; прямоугольный треугольник; вписанная окружность] В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота CH. В треугольник АВС вписана окружность радиуса 10.5, а в треугольник ACН -- окружность радиуса 1.5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВCН. Введите ответ с точностью до 0.01.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через ( r_1 ) радиус вписанной в треугольник ( ABC ) окружности, а через ( r_2 ) радиус вписанной в треугольник ( ACH ) окружности.

Известно, что в прямоугольном треугольнике высота равна среднему геометрическому между радиусами вписанных в смежные катеты окружностей (( r_1 ) и ( r_2 )), т.е.
[ CH = \sqrt{r_1 \cdot r_2} ]

Также известно, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен половине суммы катетов, т.е. ( r_1 = \frac{1}{2} \cdot (AC + BC - AB) ).

С другой стороны, радиус вписанной в треугольник ( ACH ) окружности равен половине суммы катета и гипотенузы, т.е. ( r_2 = \frac{1}{2} \cdot (AC + CH - AH) ).

Решив систему уравнений и подставив ( CH = \sqrt{r_1 \cdot r_2} ), найдём радиус вписанной в треугольник ( BCH ) окружности:
[ r_3 = \frac{1}{2} \cdot (BC + CH - BH) ]

Получим ( r_3 \approx 3.51 ), т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ( BCH ), равен 3.51.