Произвольную точку L на катете BC прямоугольного треугольника соединили с вершиной A и серединой гипотенузы M. При этом оказалось, что угол ALC равен углу BLM, и LC=2. Определите длину отрезка BL?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом:
AC = a,
BC = b,
AB = c.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем a^2 + b^2 = c^2.

По условию LC = 2, а также BM = MC (так как M - середина гипотенузы), можно записать ML = MC = 1.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ALC и BLM. Из условия угол ALC равен углу BLM, следовательно треугольники подобны и дополнительно требуется, чтобы их гипотенузы (отрезки AL и BM) были пропорциональны.

Получим два уравнения:
AL/BL = AC/BC, т.е. (a+1)/BL = a/b
BM/BL = BC/BC, т.е. 1/BL = b/c

Из первого уравнения можем выразить BL через a и b: BL = b*(a+1)/a.

Подставим это выражение во второе уравнение и получим:
1/(b(a+1)/a) = b/c
a / (b(a+1)) = b / c
ac = b^2(a+1)
ac = b^2a + b^2,
b^2 = a*c / (c-a).

Теперь можем подставить полученное значение b^2 в уравнение a^2 + b^2 = c^2 и выразить a:
a^2 + ac/(c-a) = c^2
a^3 - ac^2 + a^2c = 0
a (a^2 - c^2 + a*c) = 0.

Так как a>0, тогда a^2 - c^2 + ac = 0
a^2 - c^2 + ac = 0,
a^2 + ac = c^2
a(a+c) = c^2.

Подставим это уравнение в уравнение для b^2:
b^2 = a*c / (c-a),
b^2 = c^2 / 2,
b = c / sqrt(2).

Итак, длина отрезка BL равна c / sqrt(2).