В треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВE, пересекающиеся в точке О. Известно, что
EО=4, ОА=6. В треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВР, пересекающиеся в точке О. Известно, что
РО=4, ОА=6. Найдите сумму длин этих медиан.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что медианы разделяются точкой пересечения О в отношении 2:1. То есть, если ОМ = х, то AM = 2х, и если ОВ = у, то BV = 2у.

По условию, ЕО = 4, ОА = 6, а значит, ЕА = 2 * ОА = 12. Таким образом, медиана AM равна вертикальной высоте треугольника EDС, в котором E - середина линии АС, O - точка пересечения медиан, а D - середина линии АЕ: АМ = DE.
Из пропорции треугольников ОAD и ЕАD, в которых OА и ОЕ параллельны серединам в соответствующих треугольниках, получаем, что AM = DE = 8.

Аналогично, из условий РО = 4, ОА = 6, РА = 2 * 6 = 12. Таким образом, медиана BR равна вертикальной высоте треугольника DRС, в котором D - середина линии АC, О - точка пересечения медиан, а R - середина линии АD: BR = DR.
Из пропорции треугольников OAD и RAD, в которых ОА и ОP параллельны серединам в соответствующих треугольниках, получаем, что AR = DR = 8.

Итак, сумма длин медиан треугольника АВС равна: АМ + ВR = 8 + 8 = 16.

Ответ: 16.