Стереометрия, олимпиадная задача В тетраэдре ABCD среди сечений, параллельных рёбрам AC и BD одновременно, выбрано сечение с наибольшей площадью. Длина ребра AC равна 9.5, длина ребра BD равна 17.0. Найдите сумму квадратов диагоналей этого сечения с точностью до 0.1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть данное сечение делит тетраэдр на два тетраэдра - ABEF и CDEF.
Обозначим длину диагонали сечения, проходящей через вершину C, как x, а длину диагонали сечения, проходящей через вершину B, как y.

Так как сечение параллельно рёбрам AC и BD, то треугольники ABC и BCD подобны треугольникам ABE и BCF. Следовательно, AB/BE = BC/CF = AC/EF. Из этого следует, что EF = 9.5 * y / x.

Поскольку сумма площадей двух тетраэдров равна наибольшей площади сечения, мы можем составить уравнение:
S(ADEF) + S(ABCF) = S(ABCDEF)
1/3 x 9.5 + 1/3 y 17.0 = 1/3 9.5 y + 1/3 17.0 x

Решив это уравнение, мы найдем x / y = 17.0 / 9.5 = 1.7895. Возводим каждое из значений в квадрат и суммируем:
17.0^2 + 9.5^2 = 289 + 90.25 = 379.25

Итак, сумма квадратов диагоналей этого сечения равна 379.25.