Неравенство олимпиада....................................., школьный этап
Знаем что: a < b < c < d
Докажите: (a + b + c + d)^2 > 8(ac + bd)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Разложим квадрат суммы (a + b + c + d)^2:

(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Теперь сравним это с 8(ac + bd):

8(ac + bd) = 8ac + 8bd

Мы должны доказать, что (a + b + c + d)^2 > 8(ac + bd), то есть:

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd > 8ac + 8bd

Разделим на 2 для удобства:

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd > 4ac + 4bd

Так как a < b < c < d, каждое из слагаемых ab, ac, ad, bc, bd, cd больше ac и bd, следовательно:

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd > 4ac + 4bd

Таким образом, мы доказали что (a + b + c + d)^2 > 8(ac + bd).