Прямая, параллельная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет BC в точке K, а гипотенузу AB — в точке N. На катете AC выбрана точка M так, что MK=MN.

Найдите отношение AMMC, если BKBC=1/5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины отрезков следующим образом:
AM = x
MC = MC' = C'T = t
AK = y
KB = 5y
NC = C'M = NT = 5t

Используем подобие треугольников AMK и ABC:
AM/AB = MC/BC
x/(5y + x) = t/(5y)
x = 5t(5y + x)
x = 25ty + 5tx
x = 25ty + 5t(5t + x)
(25t + 5t)x = 25ty
30tx = 25ty
y = 6x

Используем подобие треугольников AMN и ACN:
AM/AN = MC/NC
x/(5y + x + 5t) = t/(5t)
x/(5*6x + x + 5t) = t/(5t)
x/(31x + 5t) = t/5t
x = 31t
30x = 5t
x/t = 5/30
x/t = 1/6

AM/MC = x/t = 1/6
AM/MC = AM/AM + MC = 1 + AM/MC
1/6 = 1 + 1/6
1/6 = 7/6

Ответ: AM/MC = 7/6.