Задача по Геометрии. Докажите с помощью векторов
Дан тетраэдр DABC. Докажите с помощью векторов, что если выполняется равенство AC²+BD²=AD²+BC², то AB ⊥ DC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим векторы:

AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, DC = -c (так как вектор AC = AD + DC).

Из условия задачи имеем:

AC² = (AD + DC)² = AD² + DC² + 2ADDC
BD² = (BC + CD)² = BC² + CD² + 2BCCD

Так как AC² + BD² = AD² + BC², то:

AD² + DC² + 2ADDC + BC² + CD² + 2BCCD = AD² + BC²

Учитывая, что DC = -c, получаем:

AD² + c² - 2ADc + BC² + CD² - 2BCCD = AD² + BC²

Упростим выражение:

c² - 2ADc + CD² - 2BCCD = BC²

Так как CD = -DC, имеем:

c² - 2ADc + DC² + 2BCDC = BC²
c² - 2ADc - 2BCc = BC²

Запишем векторы через координаты:

a = (x₁, y₁, z₁)
b = (x₂, y₂, z₂)
c = (x₃, y₃, z₃)

Тогда c² = x₃² + y₃² + z₃², AD = d = (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁), BC = b - a = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).

Отсюда следует, что:

x₃² + y₃² + z₃² - 2(x₄ - x₁)x₃ - 2(y₄ - y₁)y₃ - 2(z₄ - z₁)z₃ - 2(x₂ - x₁)x₃ - 2(y₂ - y₁)y₃ - 2(z₂ - z₁)z₃ = x₂² + y₂² + z₂²

Раскроем скобки и упростим:

x₃² + y₃² + z₃² - 2x₄x₃ + 2x₁x₃ - 2y₄y₃ + 2y₁y₃ - 2z₄z₃ + 2z₁z₃ - 2x₂x₃ + 2x₁x₃ - 2y₂y₃ + 2y₁y₃ - 2z₂z₃ + 2z₁z₃ = x₂² + y₂² + z₂²

Заметим, что в данном выражении присутствуют только координаты векторов, поэтому оно не зависит от системы координат и верно для всех. Таким образом, получаем равенство, которое верно при выполнении условия AC² + BD² = AD² + BC².

Следовательно, вектор AB перпендикулярен вектору DC.