Диагонали AC и BD равнобокой трапеции ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AD:BC=3:2. Окружность ω с центром O, проходящая через вершины A и D, пересекает продолжение основания BC за точку B в точке K. Оказалось, что BK=BO. Найдите отношение основания AD к радиусу окружности ω

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O, то они делятся этой точкой пополам. Значит, OA = OC и OB = OD.

Поскольку BK = BO, то треугольник OKB равнобедренный. Тогда ∠OKB = ∠OBK = ∠OBD. Так как в треугольнике ABD угол ∠OBD равен ∠ACD, то ∠OBD = ∠ACD. Следовательно, BK || AC.

Так как окружность ω проходит через вершины A и D, то ∠OAD = 90° и треугольник OAD прямоугольный. Из равенства OA = OD следует, что треугольник AOD равнобедренный. Так как ∠OAD = 90° и OA = OD, то AD = 2 * OA.

Теперь рассмотрим треугольник OAD. Он прямоугольный и равнобедренный, поэтому OA = AD/2. Значит, AD = 2 OA = 2 AD/2. Отсюда AD = 2 * r, где r - радиус окружности ω.

Итак, отношение основания AD к радиусу окружности ω равно 2:1.