Найдите радиус окружности ω На окружности ω по разные стороны от диаметра AC расположены точки B и D. Известно, что AB=76–√, CD=7, а площадь треугольника ABC в три раза больше площади треугольника BCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точки B и D находятся на окружности ω, то углы в треугольниках ABC и BCD, опирающиеся на диаметр AC, равны 90 градусов.

Обозначим радиус окружности ω как r. Тогда сторона BC треугольника ABC будет равна r (так как BC - радиус окружности), сторона BD треугольника BCD также будет равна r.

Также из условия задачи известно, что AB = 76 - r и CD = 7.

Площадь треугольника ABC равна S_ABC = (1/2)ABBC = (1/2)(76-r)r = 38r - (r^2)/2
Площадь треугольника BCD равна S_BCD = (1/2)BDCD = (1/2)r7 = 3.5r

Теперь по условию задачи имеем уравнение:
S_ABC = 3S_BCD
38r - (r^2)/2 = 10.5r
(r^2)/2 + 10.5r - 38r = 0
(r^2)/2 - 27.5r = 0
r(r - 55) = 0

Т.к. радиус не может быть отрицательным, то r = 55.

Итак, радиус окружности ω равен 55.