В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 A B C известны длины сторон: 𝐴𝐵=5 A B = 5 , 𝐵𝐶=6 B C = 6 , 𝐶𝐴=6 C A = 6 . Точка 𝑀 M — — середина отрезка 𝐵𝐶 B C , а точка 𝐻 H — — основание перпендикуляра, опущенного из 𝐵 B на биссектрису угла 𝐴 A . Найдите длину отрезка 𝐻𝑀 H M . Если необходимо, ответ округлите до сотых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину биссектрисы угла A, используя формулу
$$h_c = \frac{2ab}{a + b} * \cos(\frac{\angle C}{2})$$

где $h_c$ - длина биссектрисы угла C, $a$ и $b$ - длины сторон AB и BC соответственно, $\angle C = 180 - \angle A - \angle B$.

Вычислим длину биссектрисы угла A
$$h_a = \frac{256}{5 + 6} * \cos(\frac{\angle C}{2})$
$$h_a ≈ 4.69$$

Теперь найдем координаты точки H, проекции точки B на биссектрису угла A
$$BH = \frac{AB BC}{AB + BC} = \frac{5 6}{5 + 6} = \frac{30}{11} ≈ 2.73$$

Так как точка M - середина стороны BC, то длина отрезка HM равна половине длины стороны BC
$$HM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Теперь можно найти длину отрезка HM
$$BM = BC - HM = 6 - 3 = 3$$

Используем теорему Пифагора для треугольника BMH
$$BH^2 = BM^2 + HM^2$
$$BH^2 = 3^2 + (\frac{30}{11})^2$
$$BH^2 ≈ 32.6$
$$BH ≈ \sqrt{32.6} ≈ 5.71$$

Итак, длина отрезка HM равна 5.71.