В четырёхугольнике ABCD AB=BC=CD. Пусть E — точка пересечения AB и CD (B между A и E). Оказалось, что AC=CE и ∠DBC=15∘. Найдите ∠AED.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AB=BC=CD, то треугольник BCD — равносторонний. Значит, ∠BCD=60∘. Также у нас есть равенство AC=CE, а значит треугольник AEC — равнобедренный. Тогда ∠CAE=∠CEA. Тогда ∠CEA=∠AEB, так как ∠AEB=∠BAE=∠CAE (так как треугольник AEC равнобедренный), а значит AEC прямоугольный. Так как BCD равносторонний, то AD=DA. Значит, ∠DAB=∠ABD, но ∠ABD=∠CDB. Следовательно, ∠DAB=∠DCA. Из этого следует, что ∠CAB=∠CAD, а значит треугольник ACD равнобедренный и AD=DC. Тогда AC=AD=DC=CE, а значит треугольник ACE — равносторонний и ∠AEC=60∘. Тогда ∠AED=∠AEB+∠BEC=∠CEA+∠BEC=∠BEC+∠BEC=2⋅∠BEC=30∘.