В квадрате со стороной 3 м расположены 100 точек. Докажите, что можно нарисовать внутри этого квадрата меньший квадрат со стороной 1 м, в котором (в частности, возможно, на границах) окажутся хотя бы 12 из данных точек.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что это невозможно, т.е. внутри квадрата со стороной 3 м нельзя нарисовать квадрат со стороной 1 м, в котором окажутся хотя бы 12 точек.

Пусть в нашем квадрате 100 точек. Рассмотрим 9 квадратов со стороной 1 м, равномерно разбивающих исходный квадрат на маленькие квадраты со стороной 1 м. В каждом из этих 9 квадратов может быть не более 11 точек, т.к. иначе в одном из этих квадратов окажется 12 точек.

Следовательно, в 9 квадратах мы имеем не более 9*11 = 99 точек, но у нас должно быть 100 точек. Противоречие.

Следовательно, наше предположение было неверным, и мы можем нарисовать внутри квадрата со стороной 3 м меньший квадрат со стороной 1 м, в котором окажутся хотя бы 12 точек.