Неравенства в треугольнике. доказать неравенство (1/р-а + 1/ р-в + 1/ р-с ) больше или равно ( 2* ( 1/а +1/в+1/с)) в треугольнике

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:

Для неравенства Коши-Буняковского верно следующее:
(a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2) >= (a1b1 + a2b2 + a3*b3)^2

Применим неравенство Коши-Буняковского к неравенству ам-гм:

(1/р-а + 1/р-в + 1/р-с)(р-а + р-в + р-с) ≥ (1+1+1)^2 = 9

Далее раскроем скобки:

(1/р-а + 1/р-в + 1/р-с)(р-а + р-в + р-с) = 3 + 1/р(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c)/abc

Таким образом имеем:

3 + 1/р(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c)/abc ≥ 9

Преобразуем неравенство:

3 + 1/р(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c)/abc ≥ 9
1/р(1/a + 1/b + 1/c) + (a+b+c)/abc ≥ 6
1/р(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 6 - (a+b+c)/abc
1/р(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 6 - 2(1/a + 1/b + 1/c)
1/р(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c)

Таким образом доказано неравенство:

(1/р-а + 1/р-в + 1/р-с) ≥ 2* (1/а +1/в+1/с)