Укажите наименьшее натуральное число a, при котором уравнение (a-2)x^2-(a^2-4a+3)x-a+2=0 (a≠2) имеет все свои корни на промежутке (-1;3]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы все корни уравнения находились на интервале (-1;3], необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным. То есть D ≥ 0.

Дискриминант квадратного трехчлена равен D = (a^2 - 4a + 3)^2 - 4(a - 2)(-a + 2) = (a^2 - 4a + 3)^2 + 4(a - 2)^2.

D ≥ 0 подразумевает, что выражение внутри корня должно быть неотрицательным:

(a^2 - 4a + 3)^2 + 4(a - 2)^2 ≥ 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

a^4 - 8a^3 + 18a^2 - 8a^3 + 64a^2 - 144a + 9 + 4a^2 - 16a + 16 ≥ 0.

a^4 - 16a^3 + 86a^2 - 160a + 25 ≥ 0.

Теперь нужно найти такое наименьшее натуральное число a, при котором это неравенство выполняется на интервале (-1;3].

Подставим a = 3 в неравенство:

3^4 - 163^3 + 863^2 - 160*3 + 25 = 81 - 432 + 774 - 480 + 25 = (81 - 432 + 774 - 480) + 25 > 0,

Так как значение больше нуля, это не является решением.

Теперь попробуем a = 4:

4^4 - 164^3 + 864^2 - 160*4 + 25 = 256 - 1024 + 1376 - 640 + 25 = (256 - 1024 + 1376 - 640) + 25 = -32 + 25 < 0.

Таким образом, наименьшее натуральное число для a, при котором это неравенство выполняется на интервале (-1;3], равно 4.