Дан четырехугольник ABCD, AB = CD, BC = AD, ∠A=30°. Точка E∈BC, ∠CDE=60°. Докажите, что ABED - прямоугольная трапеция. Желательно с чертежом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку M - середину отрезка CD. Тогда AB = CD = DM, BC = AD = AM. Рассмотрим треугольник CME.

Так как CD = DM, ∠C = ∠D = 30°, то треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, ∠CDM = 75°, а значит, ∠MCD = 180° - 75° = 105°.

Так как CD = DM, то M находится на середине CD. Следовательно, AM = MC и ∠AMC = ∠MCD = 105°.

Теперь рассмотрим треугольник AED. Из условия ∠A = ∠D = 30°, AB = CD = DM, AD = BC = AM, получаем, что треугольники AED и CDM равны по трем сторонам. Следовательно, ∠AED = ∠CMD.

Теперь вернемся к треугольнику CDM. Так как ∠CDM = 75°, а ∠CMD = ∠AED, то ∠AED = 75°. Также из равенства сторон AB = CD = DM и AD = BC = AM следует, что AE = DM = AB и ED = AM = BC. Поэтому ABED можно назвать прямоугольной трапецией.

Чертеж:
A_____D
\ /
\ /
B \ / E
\ /
\ /
C