Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, AD>BC, E∈AD, ∠ABC=130, ∠BCE=50 . Докажите, что АС и ВЕ имеют общую середину. Желательно с чертежом.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим чертеж:

Проведем основания трапеции AD и BC: A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ B
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\___________________________________\
C

Пусть F - точка пересечения диагоналей AC и BD. Так как трапеция ABCD является вписанным четырехугольником (сумма противоположных углов равна 180 градусов), то угол ABC = угол ADC = 130 градусов. Также угол BCE = 50 градусов.

Так как углы в треугольнике BCE равны 130 градусов (угол ABC) + 50 градусов (угол BCE) = 180 градусов, то треугольник BCE является прямоугольным.

Рассмотрим треугольник AFC. Угол AFC = угол ABC + угол DAB = 130 градусов + 50 градусов = 180 градусов, то есть угол AFC - прямой.

Так как треугольник AFC является прямоугольным, а угол AFC - прямой, то точка F является серединой гипотенузы AC.

Точка E находится на основании AD, значит, AC - это диагональ трапеции ABCD. Так как F - середина AC, то F также является серединой диагонали AC и отрезка BE.

Таким образом, AC и BE имеют общую середину F, что и требовалось доказать.