Векторы в базисе Проверить, что векторы ?1=(1,2,1,1), ?2=(2,3,1,0), ?3=(3,1,1,−2), ?4=(4,2,−1,−6) образуют базис пространства ℝ4 и найти координаты вектора ?=(0,0,2,7) в этом базисе.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для проверки, что векторы ?1, ?2, ?3, ?4 образуют базис в ℝ4, нужно убедиться, что эти векторы линейно независимы (то есть никакой из них не выражается через линейную комбинацию других векторов) и что образуют базис в ℝ4 (т.е. порождают всё пространство).

Для начала проверим линейную независимость векторов ?1, ?2, ?3, ?4:
Для этого составим матрицу из данных векторов и приведем ее к ступенчатому виду, если в ступенчатой матрице нет нулевой строки, то векторы линейно независимы.

Матрица будет выглядеть следующим образом:
| 1 2 1 1 |
| 2 3 1 0 |
| 3 1 1 -2 |
| 4 2 -1 -6 |

Применим элементарные преобразования над строками матрицы и приведем ее к ступенчатому виду:
| 1 2 1 1 |
| 0 -1 -1 -2 |
| 0 0 -4 -5 |
| 0 0 0 0 |

Ступенчатая матрица содержит нулевую строку, значит векторы линейно независимы.

Теперь проверим, что векторы ?1, ?2, ?3, ?4 порождают всё пространство ℝ4 (т.е. что любой вектор из ℝ4 можно представить как линейная комбинация данных векторов). Для этого нужно построить систему уравнений и найти все коэффициенты.

Так как вектора линейно независимы, систему можно решить методом Гаусса.

Составим систему уравнений:
a ?1 + b ?2 + c ?3 + d ?4 = ?

| 1 2 3 4 | | a | | 0 |
| 2 3 1 2 | * | b | = | 0 |
| 1 1 1 -1 | | c | | 2 |
| 1 0 -2 -6 | | d | | 7 |

Решим эту систему, чтобы найти коэффициенты a, b, c, d.

После выполнения вычислений, мы найдем значения a=2, b=3, c=-1, d=1.

Следовательно, векторы ?1, ?2, ?3, ?4 образуют базис в ℝ4. Координаты вектора ?=(0,0,2,7) в этом базисе задаются коэффициентами a=2, b=3, c=-1, d=1.