Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превышающие единицы. Какова вероятность того, что сумма их не превышает единицы, если сумма их квадратов больше 1/4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим событие A - сумма чисел x и y не превышает единицы, а событие B - сумма квадратов x и y больше 1/4.

Нам необходимо найти вероятность P(A|B), то есть вероятность события A при условии события B.

Так как x и y не превышают единицы, то они оба могут находиться на отрезке [0, 1]. Поскольку сумма квадратов больше 1/4, это означает, что x и y не могут одновременно находиться на отрезке [0, 1/2]. Таким образом, область, в которой x и y могут быть выбраны, ограничена треугольником с вершинами (0, 1/2), (1/2, 0) и (1, 0).

Давайте найдем площадь этого треугольника. Площадь треугольника равна (1/2) base height. Base = 1/2, height = 1/2, значит площадь равна 1/8.

Теперь найдем площадь области, в которой сумма x и y не превышает единицу. Это просто верхний прямоугольник треугольника, который равен 1/2 * 1 = 1/2.

Вероятность события A при условии события B равна отношению площади области, где события A и B происходят, к площади области, где событие B происходит. Таким образом, P(A|B) = 1/8 / 1/2 = 1/4.

Итак, вероятность того, что сумма чисел x и y не превышает единицы, при условии что сумма квадратов x и y больше 1/4, равна 1/4.