∞
Доказать, что ряд ∑ (√? + 3 −2√? + 2+ √? +1)
∞
Доказать, что ряд ∑ (√? + 3 −2√? + 2+ √? +1) сходится и найти его сумму.
n=1
Не получается составить сумму

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разложим каждое слагаемое ряда на множители:

√n + 3 = √(n+3) = (n+3)^1/2
2√n + 2 = 2√(n+1) = 2(n+1)^1/2
√n + 1 = √(n+1) = (n+1)^1/2

Теперь заметим, что это представление каждого слагаемого можно записать в виде:

(n+3)^1/2 - 2(n+1)^1/2 + (n+1)^1/2

Таким образом, каждое слагаемое ряда можно записать в виде разницы двух квадратных корней.

Теперь можно преобразовать ряд:

∑((n+3)^1/2 - 2(n+1)^1/2 + (n+1)^1/2)
n=1

Сначала посчитаем значение для первого слагаемого при n=1:

(1+3)^1/2 = 2^1/2 = √2
Теперь значение для второго слагаемого при n=1:

2(1+1)^1/2 = 2*2^1/2= 2√2
И наконец, значение для третьего слагаемого при n=1:

(1+1)^1/2 = 2^1/2=√2

Таким образом,

∑(√n + 3 −2√n + 2+ √n +1)
n=1

= √2 - 2√2 + √2

= 0

Ряд сходится, и его сумма равна 0.