Задача по математике У продавца на рынке есть 11 гирек различной массы. Для каждого набора из
нескольких (хотя бы одной) своих гирек продавец посчитал суммарную массу этого
набора. Оказалось, что ровно две из этих сумм равны, и больше равных сумм среди
них нет. Докажите, что все гири можно разделить на две группы так, чтобы сумма
масс гирь в первой группе равнялась сумме масс гирь во второй группе.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим массу каждой гири числом a1, a2, ..., a11. Поскольку есть ровно две суммы, которые равны между собой, значит, существует два набора гирь, суммы масс которых равны.

Пусть все гири можно разделить на две группы с нужными условиями. Пусть в первой группе у нас находятся гири a1, a2, ..., am, во второй группе – гири am+1, am+2, ..., a11, причем m не превышает 5.

Тогда получаем следующее уравнение:
a1 + a2 + ... + am = am+1 + am+2 + ... + a11.

Но тогда можно выразить количество 2m гирь, сумма масс которых равна сумме масс оставшихся гирь:
(a1 + a2 + ... + am) + (am+1 + am+2 + ... + a11) = 2(a1 + a2 + ... + am) = 2(am+1 + am+2 + ... + a11).

Таким образом, доказано, что гири можно разделить на две группы так, чтобы сумма масс гирь в каждой группе была равна.