Турнир по командным прыжкам с шестом на лыжах через бассейн проходил в один круг (каждая команда тс каждой сыграла один раз). За победу давали три очка,за ничью-одно,за поражение ни одного. В итоге оказалось,что все команды вместе набрали что очков. Сколько ничьих могло быть в этом турнире? (Нужно привести все возможные варианты и доказать,что других нет)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть количество команд на турнире равно n, тогда всего было сыграно n(n-1)/2 матчей. Каждый матч дал либо 3 очка за победу, либо 1 очко за ничью, либо 0 за поражение, то есть всего было набрано 3n(n-1)/2+an очков, где a - количество ничьих.

Из условия задачи известно, что все команды вместе набрали n(n-1)/2+ln очков, где l - количество команд. Поэтому 3n(n-1)/2+an=n(n-1)/2+ln. 3n(n-1)+2an=n(n-1)+2ln. 2a=(n-2)l.

Так как a и l должны быть целыми положительными числами, то n-2 должно делиться на 2. Рассмотрим возможные варианты:

n=4. В этом случае n(n-1)/2+ln=43/2+14=10=3n(n-1)/2+an. Положим a=2, тогда 2=(4-2)1.

Подходящий вариант есть, значит, возможно две ничьих.

n=6. В этом случае n(n-1)/2+ln=65/2+16=21=3n(n-1)/2+an. Положим a=4, тогда 4=(6-2)1.

Подходящий вариант есть, значит, возможно четыре ничьих.

n=8. В этом случае n(n-1)/2+ln=87/2+18=36=3n(n-1)/2+an. Положим a=6, тогда 6=(8-2)1.

Подходящий вариант есть, значит, возможно шесть ничьих.

n=10. В этом случае n(n-1)/2+ln=109/2+110=46=3n(n-1)/2+an. a=8, 8=(10-2)1. Подходящий вариант есть, значит, возможно восемь ничьих.

В остальных случаях значение n-2 не делится на 2 целочисленно, поэтому других вариантов нет.

Ответ: возможны 2, 4, 6, 8 ничьих.