В четырёхугольник ABCD вписана окружность радиуса r. Найдите сумму AD + BC, если угол C = углу D = 90° и угол A = 30°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центр окружности как O. Так как угол C = 90°, то AC и BD - диаметры данной окружности, следовательно, O - середина отрезков AD и BC. Поделим AD и BC пополам, получим AO и OB, т.е. радиус окружности.

Так как угол A = 30°, то AO является радиусом, а угол AOB = 90°.

Следовательно, треугольник AOB - прямоугольный, со сторонами AO, OB и AB.

Заметим, что AB = 2 r (диагональ квадрата равна корню из 2 в степени 2 сторона квадрата).

Так как угол AOB = 90°, то применяем теорему Пифагора:
AB^2 = AO^2 + OB^2,
(2r)^2 = r^2 + r^2,
4r^2 = 2r^2,
r = 2r

Значит, AO = OB = AB/2 = r * √2 = 2r

Итак, сумма AD и BC:
AD + BC = 2 AO + 2 OB = 2 2r + 2 2r = 8r

Ответ: AD + BC = 8r.