Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления двойного интеграла мы сначала определим пределы интегрирования по каждой переменной, а затем подставим функцию в интеграл.

Пусть D - область, ограниченная линиями y = x^2, y=4, x=0 и x=2.

Пределы интегрирования будут следующими:
Для x: от 0 до 2
Для y: от x^2 до 4

Теперь подставим функцию f(x, y) в интеграл:
∫(∫f(x, y) dy) dx

Предположим, что функция f(x, y) = xy. Тогда выражение для двойного интеграла будет следующим:
∫(∫(xy dy) dx)

Вычислим интеграл по y:
∫(xy) dy = xy^2 / 2

Подставим пределы интегрирования для y (от x^2 до 4):
xy^2 / 2 | от x^2 до 4 = x4^2 / 2 - x(x^2)^2 / 2 = 8x - x^5/2

Теперь вычислим интеграл по x:
∫(8x - x^5/2) dx = 4x^2 - x^6 / 6

Подставим пределы интегрирования для x (от 0 до 2):
42^2 - 2^6 / 6 - 40^2 + 0 / 6 = 16 - 64/6 = 16 - 32/3 = 16/3

Таким образом, значение двойного интеграла по области D равно 16/3.