Вычислить интеграл ∫ dx/(2x^2-7x+1) ∫ dx/(2x^2-7x+1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом частичных дробей.

Сначала разложим дробь на простейшие дроби:
1/(2x^2-7x+1) = A/(2x - 1) + B/(x - 1).

Умножим обе части на 2x^2 - 7x + 1 и приведем дроби к общему знаменателю:

1 = A(x - 1) + B(2x - 1).

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1 = Ax - A + 2Bx - B.

Ax + 2Bx = x(A + 2B), - A - B = 1.

Получаем систему уравнений:

A + 2B = 0,
-A - B = 1.

Из первого уравнения находим A = -2B, подставляем во второе уравнение:

-(-2B) - B = 1,
2B - B = 1,
B = 1,
A = -2.

Теперь можем записать разложение исходной дроби на простейшие:

1/(2x^2 - 7x + 1) = -2/(2x - 1) + 1/(x - 1).

Теперь можем вычислить интеграл:

∫ dx/(2x^2 - 7x + 1) = ∫ (-2/(2x - 1) + 1/(x - 1)) dx
= -2 ∫ dx/(2x - 1) + ∫ dx/(x - 1)
= -2 ln|2x - 1| + ln|x - 1| + C.

Итак, интеграл от dx/(2x^2 - 7x + 1) равен -2 ln|2x - 1| + ln|x - 1| + C.