Задача по геометрии Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что ВС = 6 см, AD = 16 см, а сумма сторон АВ и CD равна 30 см. Найдите отрезок MN, если в каждую из трапеций АМND и MBCN можно вписать окружность.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим отрезок MN за х. Также обозначим точку пересечения прямой MN с диагональю BD за P.

Так как AB + CD = 30 см, то AB = 30 - CD. Также BC = 6 см, а AD = 16 см.

Так как в трапеции MBCN можно вписать окружность, то MB = CN = х.

Так как прямая MN параллельна сторонам AD и BC, то углы AMP и BNP будут равными, также как и углы ANP и BMP.

Из теоремы касательной к окружности, проведенной внутри треугольника, из точки касания к стороне, касательная к окружности будет перпендикулярна радиусу.

Используя вышесказанное, прямоугольные треугольники AMP и BNP будут подобными, также как и прямоугольные треугольники ANP и BMP.

Следовательно, AM/BN = MP/NP = AP/BP.

Так как треугольник АВР подобен треугольнику NСР, то АР/ВР = АС/СС.

Так как АВP подобен MNP, то АР/BP = AM/MN.

Так как CNP подобен МРВ, то CN/BP = МР/PN.

Из приведенных равенств следует, что АМ/МN = AC/BC

16/(16-x) = (16+6)/(6+x)

16/(16-x) = 22/(6+x)

22(16-x) = 16(6+x)

352 - 22x = 96 + 16x

352 - 96 = 22x + 16x

256 = 38x

x = 256/38
x ≈ 6,74

Итак, отрезок MN ≈ 6,74 см.