Задача по геометрии Докажите, что в равностороннем треугольнике ABC биссектриса ВМ отсекает на стороне AC отрезок AM = 0,5АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть треугольник ABC равносторонний, то есть все стороны равны, тогда AB = AC = BC = a.

Также, так как треугольник ABC равносторонний, то у него все углы равны 60 градусов.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = AM (по условию) и угол ABM = AMB = 30 градусов (так как BM — биссектриса угла ABC), то треугольник ABM равнобедренный. Из равнобедренности треугольника ABM следует, что угол BMA = 180 - 2*30 = 120 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник АСМ. В нем угол AСМ = 60 градусов (так как треугольник ABC равносторонний), угол АМС = АСМ = 30 градусов (так как МВ — биссектриса угла ABC). Тогда треугольник АСМ также равнобедренный, и из равнобедренности следует, что AM = CM.

Таким образом, доказано, что в равностороннем треугольнике ABC биссектриса BM отсекает на стороне AC отрезок AM = 0,5AB.