Найдите наибольший корень уравнения (x^2-5x3)(x^2-5x-5)-9=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для удобства обозначим ( y = x^2 - 5x ). Тогда уравнение примет вид ( y(y - 5) - 9 = 0 ).

Решим квадратное уравнение относительно ( y ):
( y^2 - 5y - 9 = 0 ).

Применим квадратное уравнение и получим два корня:
( y_1 = \frac{5 + \sqrt{5^2 + 36}}{2} = \frac{5 + \sqrt{61}}{2} ),
( y_2 = \frac{5 - \sqrt{5^2 + 36}}{2} = \frac{5 - \sqrt{61}}{2} ).

Теперь найдем корни исходного уравнения:

( x^2 - 5x - y_1 = 0 ):
( x = \frac{5 + \sqrt{65 + 4y_1}}{2} ) или ( x = \frac{5 - \sqrt{65 + 4y_1}}{2} ).

( x^2 - 5x - y_2 = 0 ):
( x = \frac{5 + \sqrt{65 + 4y_2}}{2} ) или ( x = \frac{5 - \sqrt{65 + 4y_2}}{2} ).

Подставляя значения ( y_1 ) и ( y_2 ), получаем четыре корня уравнения. Найдем наибольший из них.

( x_1 = \frac{5 + \sqrt{61} + \sqrt{65 + 5\sqrt{61}}}{2} ),
( x_2 = \frac{5 + \sqrt{61} - \sqrt{65 + 5\sqrt{61}}}{2} ),
( x_3 = \frac{5 - \sqrt{61} + \sqrt{65 - 5\sqrt{61}}}{2} ),
( x_4 = \frac{5 - \sqrt{61} - \sqrt{65 - 5\sqrt{61}}}{2} ).

Наибольший корень ( x_{max} = x_1 ).