Задача по математике Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y=x^3 и y=4*x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения кривых y=x^3 и y=4*x.

Для этого приравняем уравнения и найдем значения x:

x^3 = 4*x
x^2 = 4
x = ±2

Таким образом, точки пересечения кривых находятся в точках (2, 8) и (-2, -8).

Теперь найдем объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX. Для этого воспользуемся формулой для объема вращения:

V = π * ∫[a,b] (f(x))^2 dx,

где a и b - точки пересечения кривых, f(x) - функция, задающая фигуру.

Так как рассматривается фигура, ограниченная кривыми y=x^3 и y=4x, то f(x) = 4x - x^3.

Теперь вычислим интеграл:

V = π ∫[-2,2] (4x - x^3)^2 dx
V = π ∫[-2,2] (16x^2 - 8x^4 + x^6) dx
V = π [16/3x^3 - 8/5x^5 + 1/7x^7] |[-2,2]
V = π [(16/3 2^3 - 8/5 2^5 + 1/7 2^7) - (16/3 (-2)^3 - 8/5 (-2)^5 + 1/7 (-2)^7)]
V = π [(128/3 - 64/5 + 128/7) - (-128/3 + 64/5 - 128/7)]
V = π [(128/3 - 64/5 + 128/7) + (128/3 - 64/5 + 128/7)]
V = π [768/35 + 768/35]
V = 1536/35 π

Итак, объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной кривыми y=x^3 и y=4x, равен 1536/35 π.