Преобразование тригонометрических выражений. Упростите выражение: tg ( α 2 + π 4 ) (1 − sin α) /cos α

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами тригонометрии.

Сначала раскроем тангенс суммы двух углов:
tg(α/2 + π/4) = (tg(α/2) + tg(π/4)) / (1 - tg(α/2) * tg(π/4))
tg(π/4) = 1, tg(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2)

Подставим полученные значения:
tg(α/2 + π/4) = (sin(α/2) / cos(α/2) + 1) / (1 - sin(α/2) / cos(α/2))
tg(α/2 + π/4) = (sin(α/2) + cos(α/2)) / (cos(α/2) - sin(α/2))

Далее раскроем числитель:
(sin(α/2) + cos(α/2))(1 - sin(α)) = sin(α/2) - sin^2(α/2) + cos(α/2) - cos(α/2)sin(α)
= sin(α/2) + cos(α/2) - sin(α/2)(1 - cos(α/2)) = sin(α/2) + cos(α/2)(1 + sin(α/2))
= sin(α/2) + cos(α/2 + α/2) = sin(α)

Теперь раскроем знаменатель:
(cos(α/2) - sin(α/2))(cos(α)) = cos(α/2)cos(α) - sin(α/2)cos(α) = cos(α/2 + α/2) = cos(α)

Итак, получаем:
tg(α/2 + π/4)(1 - sin(α))/cos(α) = sin(α) / cos(α) = tg(α)

Таким образом, упрощенное выражение равно tg(α).