Геометрия, р/б трапеция, теорема Птолемея Вокруг трапеции ABCD описана окружность. Основания трапеции AB и CD, углы CAD и DBC — прямые.

а) Найдите BC, если известно, что AC = 2, AB = 7.
б) Найдите угол ABD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Из теоремы Птолемея получаем, что (AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD). Так как BC = CD = x (так как BC и CD - радиусы окружности, описанной вокруг трапеции), а AD = AB - CD = 7 - x, а BD = AC = 2, подставляем это в уравнение:

(7x + x(7-x) = 2\cdot2)

(7x + 7x - x^2 = 4)

(14x - x^2 = 4)

(x^2 - 14x + 4 = 0)

Решая это квадратное уравнение, получаем два варианта:

(x = 13 \pm \sqrt{165})

Так как размеры сторон должны быть положительными, выбираем x = 13 + √165.

Ответ: BC = 13 + √165.

б) Так как угол ABD - вертикально противолежащий угол к углу DBC, а DBC - прямой угол, угол ABD также является прямым.

Ответ: угол ABD = 90 градусов.