Найти площадь области, ограниченной кривыми r=a(1+cos(фи)), r=acos(фи)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных кривых, приравняв их уравнения друг к другу:

a(1+cos(фи)) = acos(фи)

a + acos(фи) = acos(фи)

a = 0

Таким образом, точкой пересечения является точка (0, 0).

Определим границы интегрирования для вычисления площади области. Точка пересечения (0, 0) соответствует углу фи=0. Также заметим, что r=a(1+cos(фи)) всегда больше r=acos(фи) при значениях фи больше нуля.

Таким образом, границы интегрирования будут от 0 до пи.

Площадь данной области можно найти по формуле:

S = ∫[0,pi] [(1/2)(a(1+cos(фи))^2 - (1/2)(acos(фи))^2] dфи

S = ∫[0,pi] [(1/2)(a^2 + 2a^2cos(фи) + a^2cos^2(фи)) - (1/2)(a^2*cos^2(фи))] dфи

S = ∫[0,pi] [a^2 + a^2*cos(фи)] dфи

S = a^2∫[0,pi] (1 + cos(фи)) dфи

S = a^2[фи + sin(фи)]∣[0,pi]

S = a^2*pi

Итак, площадь области, ограниченной кривыми r=a(1+cos(фи)) и r=acos(фи), равна a^2*pi.