(Матан) Докажите, что монотонная последовательность имеет только один частичный предел. очень нужно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть последовательность {a_n}, которая является монотонной. Без ограничения общности, давайте предположим, что она возрастающая.

Предположим, что у последовательности {a_n} есть два различных частичных предела: lim a_n = A и lim a_n = B, где A < B.

Так как последовательность монотонно возрастает, для любого n больше чем некоторое начальное значение N, мы имеем a_n < B. Таким образом, существует бесконечное количество элементов последовательности {a_n}, больших числа A и меньших числа B.

Но это невозможно, так как множество частичных пределов для любой последовательности ограничено сверху и снизу значениями, достижимыми самой последовательностью. Таким образом, у монотонной последовательности может быть только один частичный предел.

Таким образом, монотонная последовательность имеет только один частичный предел, что и требовалось доказать.