Задача на доказательство алгебра Нужно доказать, что если целочисленные векторы а1, а2, ..., аk є є Z^n линейно зависимы над полем Q, то найдутся такие числа λ1, λ2, ..., λk, взаимно простые в совокупности, что
λ1а1+λ2а1+...+λk аk=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что если векторы а1, а2, ..., аk линейно зависимы над полем Q, то они также будут линейно зависимы над полем Z (целыми числами), так как любая линейная комбинация с целочисленными коэффициентами также будет линейной комбинацией с рациональными коэффициентами.

Таким образом, существуют целые числа c1, c2, ..., ck, не все из которых равны нулю, такие что c1а1 + c2а2 + ... + ckак = 0.

Пусть d - наибольший общий делитель чисел c1, c2, ..., ck. Рассмотрим векторы b1 = a1/d, b2 = a2/d, ..., bk = ak/d, где символ "/" обозначает деление каждой координаты на d (вектор би также является целочисленным). Тогда существуют такие целые числа d1, d2, ..., dk, что d1b1 + d2b2 + ... + dkbk = 0, и про каждое из чисел d1, d2, ..., dk известно, что оно делит d.

Обозначим λi = d*ci/di для i = 1, 2, ..., k. Тогда имеем:

λ1а1 + λ2а2 + ... + λkак = d1b1 + d2b2 + ... + dkbk = 0

Поскольку d делит каждый из ci и di, числа λ1, λ2, ..., λk будут взаимно простыми в совокупности. Таким образом, доказано, что существуют такие числа λ1, λ2, ..., λk, взаимно простые в совокупности, что λ1а1 + λ2а2 + ... + λkак = 0.