Решите задачку по теории функции комплексного переменного Найти мнимую и действительную часть w=2^(z^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам нужно представить комплексное число z в виде z=x+iy, где x и y - действительная и мнимая части соответственно.

Теперь выразим z^2:
z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2.

Подставим z^2 в функцию w=2^(z^2):
w = 2^(x^2 + 2ixy - y^2).

Для нахождения действительной и мнимой частей найдем экспоненциальное представление числа 2^(x^2-y^2):
2^(x^2-y^2) = e^(ln(2^(x^2-y^2))) = e^(x^2-y^2).

Также найдем экспоненциальное представление числа 2^(2ixy):
2^(2ixy) = e^(ln(2^(2ixy))) = e^(2ixy*ln(2)).

Следовательно, функция w = e^(x^2-y^2)cos(2xyln(2))+ie^(x^2-y^2)sin(2xyln(2))

Таким образом, действительная часть функции w:
Re(w) = e^(x^2-y^2)cos(2xyln(2)),
а мнимая часть:
Im(w) = e^(x^2-y^2)sin(2xyln(2)).