Прямая перпендикулярная биссектрисе угла A..
Прямая перпендикулярная биссектрисе угла A пересекает стороны угла в точках M и N а биссектрису в точке Р. Известно что MN =13 см Найти отрезок МР

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи обратимся к свойству биссектрисы треугольника: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Пусть AM = x, AN = y. Тогда MB = MC = 13 / 2 = 6.5
Так как AM – точка касания, то AB = x + 6.5, AC = y + 6.5
По свойству биссектрисы имеем, что MP / PB = AM / AB, NP / PC = AN / AC. Тогда MP = 14x / (x + y) и NP = 14y / (x + y)
Из двух предыдущих равенств следует, что MP = PN.

Так как MR – перпендикуляр, то MP – медиана для треугольника AMN. Тогда PR – половина медианы, т.е. PR = MP / 2 = 6.5см.