Для начала найдем векторы, образующие грани ABC и DBC.
Вектор ABAB = b - a = (3, 3, -1) - (0, -1, 2) = (3, 4, -3)
Вектор ACAC = c - a = (3, 1, 1) - (0, -1, 2) = (3, 2, -1)
Вектор BCBC = c - b = (3, 1, 1) - (3, 3, -1) = (0, -2, 2)
Вектор BDBD = d - b = (5, -4, -6) - (3, 3, -1) = (2, -7, -5)
Вектор CDCD = d - c = (5, -4, -6) - (3, 1, 1) = (2, -5, -7)
Теперь найдем угол между гранями ABC и DBC, используя формулу для косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (AB BD) / (|AB| |BD|cos(θ) = (32 + 4(-7) + (-3)(-5)) / (sqrt(3^2 + 4^2 + (-3)^2) sqrt(2^2 + (-7)^2 + (-5)^2)cos(θ) = (6 - 28 + 15) / (sqrt(9 + 16 + 9) sqrt(4 + 49 + 25)cos(θ) = -7 / (sqrt(34) sqrt(78)cos(θ) = -7 / (sqrt(2652)cos(θ) = -7 / 51.4θ ≈ arccos(-0.136) ≈ 98.28°
Итак, двугранный угол между гранями ABC и DBC равен примерно 98.28 градусов.
Для начала найдем векторы, образующие грани ABC и DBC.
Вектор AB
AB = b - a = (3, 3, -1) - (0, -1, 2) = (3, 4, -3)
Вектор AC
AC = c - a = (3, 1, 1) - (0, -1, 2) = (3, 2, -1)
Вектор BC
BC = c - b = (3, 1, 1) - (3, 3, -1) = (0, -2, 2)
Вектор BD
BD = d - b = (5, -4, -6) - (3, 3, -1) = (2, -7, -5)
Вектор CD
CD = d - c = (5, -4, -6) - (3, 1, 1) = (2, -5, -7)
Теперь найдем угол между гранями ABC и DBC, используя формулу для косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (AB BD) / (|AB| |BD|
cos(θ) = (32 + 4(-7) + (-3)(-5)) / (sqrt(3^2 + 4^2 + (-3)^2) sqrt(2^2 + (-7)^2 + (-5)^2)
cos(θ) = (6 - 28 + 15) / (sqrt(9 + 16 + 9) sqrt(4 + 49 + 25)
cos(θ) = -7 / (sqrt(34) sqrt(78)
cos(θ) = -7 / (sqrt(2652)
cos(θ) = -7 / 51.4
θ ≈ arccos(-0.136) ≈ 98.28°
Итак, двугранный угол между гранями ABC и DBC равен примерно 98.28 градусов.