Докажите, что Таня права, а Незнайка неправ Незнайка утверждает, будто он нашёл натуральное число, кратное 5, имеющее ровно 6 различных натуральных делителей, сумма десятичных цифр которого равна 7.

Немного подумав, Таня, победительница Всететянской математической олимпиады, заявила, что Незнайка ошибается.

Докажите, что Таня права.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся в задаче.

Пусть искомое натуральное число, кратное 5, равно N. Тогда его разложение на простые множители имеет вид N = 5^m p_1^a_1 p_2^a_2 ... p_k^a_k, где p_1, p_2, ..., p_k - простые числа, a_1, a_2, ..., a_k - натуральные числа.

Так как N делится на 5, то m ≥ 1. Также из условия следует, что количество делителей числа N равно (m + 1)(a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1). Поскольку число делителей у числа с разложением на простые множители вида p_1^a_1 p_2^a_2 ... * p_k^a_k равно (a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1), то мы видим, что m + 1 = 6.

Теперь найдем условие на сумму десятичных цифр числа N. Так как число N кратно 5, то его последняя цифра должна быть 0 или 5. Поскольку сумма цифр числа N равна 7, а последняя цифра равна 0 или 5, то сумма оставшихся цифр должна быть равна 7 или 2.

Если сумма оставшихся цифр равна 2, то они могут быть равны 2 и 0, но тогда число N не делится на 5. Значит, сумма оставшихся цифр равна 7.

Таким образом, мы приходим к выводу, что число N не может существовать. Следовательно, Таня права, а Незнайка неправ.