Сложная задача с муниципального этапа 9 класа которую не найдете в интернете Пуст n натуральное число и a = 2018^(4n+3) - 2017^(4n+1). Если p найбольшый делитель числа a (p ≠ 1, p ≠ a), докажите что корень числа pn + 2 это иррациональное число

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что числа 2018 и 2017 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1). Таким образом, мы можем записать a в виде разности двух кубов:

a = (2018^(4n+2) + 2018^(4n+1) 2017 + 2018 2017^(2) + 2017^(4n+1)) * (2018 - 2017)

Мы видим, что a представляется в виде произведения двух целых чисел. Так как p - наибольший делитель числа a, то существует некоторое целое число q такое, что a = pq. Подставим разложение a в виде произведения двух множителей:

pq = (2018^(4n+2) + 2018^(4n+1) 2017 + 2018 2017^(2) + 2017^(4n+1)) * (2018 - 2017)

Так как p - наибольший делитель числа a, то p обязан делить один из множителей в скобках. Пусть он делит первый множитель, то есть p делит выражение в скобках (2018^(4n+2) + 2018^(4n+1) 2017 + 2018 2017^(2) + 2017^(4n+1)). Это значит, что p также делит a - знаменатель множителя в скобках.

Таким образом, p делит a и a - только поднимает его к степени n+2. По определению поднятие числа а в степень n не изменит иррациональность, то есть pn+2 останется иррациональным числом.