Найти угол между медианой AK и высотой AD по координатам вершин треугольника ABC: A(2,4) B(3,8) C(5,2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек D и K.

Высота AD будет перпендикулярна стороне BC, поэтому коэффициенты наклона прямой BC и прямой AD будут взаимно обратными и противоположными.

Коэффициент наклона BC:
m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (2 - 8) / (5 - 3) = -6 / 2 = -3

Коэффициент наклона перпендикулярной прямой AD:
m_AD = 1 / m_BC = -1 / -3 = 1/3

Уравнение прямой AD проходящей через точку A(2,4):
y - 4 = 1/3(x - 2)
y = 1/3x + 10/3

Затем найдем координаты точки D, пересечения высоты AD и стороны BC. Уравнение прямой BC:
m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B)
y - 8 = -3(x - 3)
y = -3x + 17

Теперь найдем координаты точки пересечения D:
-3x + 17 = 1/3x + 10/3
-9x + 51 = x + 10
10x = 41
x = 41/10
x = 4.1

Подставляем найденное значение x обратно в уравнение прямой BC:
y = -3(4.1) + 17
y = -12.3 + 17
y = 4.7

Точка D имеет координаты (4.1, 4.7).

Теперь найдем координаты точки K - середины стороны BC, K(4, 5).

Теперь используем формулу для нахождения угла между двумя векторами a и b:
cos(θ) = (a · b) / |a|*|b|

Пусть векторами будут AK и AD.
Координаты вектора AK: (4 - 2, 5 - 4) = (2, 1)
Координаты вектора AD: (4.1 - 2, 4.7 - 4) = (2.1, 0.7)

Вычисляем скалярное произведение векторов AK и AD:
(2 2.1) + (1 0.7) = 4.2 + 0.7 = 4.9

Вычисляем длины векторов AK и AD:
|AK| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1) = sqrt(5)
|AD| = sqrt(2.1^2 + 0.7^2) = sqrt(4.41 + 0.49) = sqrt(4.9)

Подставляем все значения в формулу cos(θ):
cos(θ) = 4.9 / (sqrt(5) sqrt(4.9)) = 4.9 / (sqrt(5) 2.2136) ≈ 0.883

Угол θ можно найти, взяв арккосинус от полученного значения:
θ = arccos(0.883) ≈ 28.2 градуса

Таким образом, угол между медианой AK и высотой AD треугольника ABC равен приблизительно 28.2 градуса.