Задача по математике про пятиугольники, шести и семиугольники Полина взяла воздушный шарик и разрисовала его поверхность так, что она разбилась
на семиугольники, шестиугольники и пятиугольники. Докажите, что пятиугольников
на 12 больше, чем семиугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть количество пятиугольников равно x, количество шестиугольников равно y, количество семиугольников равно z.

Так как поверхность воздушного шарика разбита только на семиугольники, шестиугольники и пятиугольники, то суммарное количество граней всех фигур должно быть одинаковым, то есть:
5x + 6y + 7z = 2 * (x + y + z)

Упростим это уравнение:
5x + 6y + 7z =2x + 2y + 2z
3x + 4y + 5z = 0

Так как каждая грань имеет как минимум 5 сторон, а семиугольников и шестиугольников в сумме меньше, чем пятиугольников, то x > y + z. Подставим это в уравнение:
3(x - y - z) + 4y + 5z = 0
3x - 3y - 3z + 4y + 5z = 0
3x + y + 2z = 0

Так как решение этой системы уравнений существует (x, y, z - натуральные числа), то z < 0, и, следовательно, пятиугольников на 12 больше, чем семиугольников.