Найти количество решений уравнения в натуральных числах х² у³ z⁵ = 30³⁰

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения количества решений уравнения x²y³z⁵ = 30³⁰ в натуральных числах, необходимо разложить число 30³⁰ на простые множители.

30³⁰ = 2⁹ 3¹⁵ 5¹⁰

Теперь мы знаем, что у нас есть 9 двоек, 15 троек и 10 пятёрок.

Уравнение x²y³z⁵ = 30³⁰ может быть представлено в виде:

x¹ x¹ y¹ y¹ y¹ z¹ z¹ z¹ z¹ * z¹ = 30³⁰

Мы можем выбирать любые 5 множителей из чисел 2, 3 и 5 для каждого из переменных x, y, z, при условии что их степени соответствуют степени в разложении 30³⁰ на простые множители.

Таким образом, количество решений уравнения в натуральных числах будет равно количеству способов выбрать 5 множителей из 9 для x, 5 множителей из 15 для y и 5 множителей из 10 для z, что можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

C(9,5) C(15,5) C(10,5) = 126 3003 252 = 956565006

Таким образом, количество решений уравнения x²y³z⁵ = 30³⁰ в натуральных числах равно 956565006.