Контрольная работа № 5
по теме «Применение производной.»
Найти экстремумы функции:
1. f(x)=x^3+ 5/2x^2-22x+1; 2. f(x) = х3 • e2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти ее критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю:
3x^2 + 5x - 22 = 0.

Решим квадратное уравнение:
D = 5^2 - 43(-22) = 25 + 264 = 289.
x1,2 = (-5 ± √289) / 6 = (-5 ± 17) / 6.

Таким образом, получаем две критические точки x1 = 2, x2 = -3.

Для нахождения экстремумов функции произведем исследование функции на участках между критическими точками и вне их, подставляя значения x второй производной f''(x) = 6x + 5:
f''(2) = 17 > 0, значит в точке x = 2 функция имеет минимум.
f''(-3) = -13 < 0, значит в точке x = -3 функция имеет максимум.

Следовательно, функция f(x) = x^3 + 5/2x^2 - 22x + 1 имеет минимум при x = 2 и максимум при x = -3.

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти ее критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю:
3x^2e^(2x) + 2x^3e^(2x) = 0.

Факторизуем исходное уравнение и выведем х^2e^(2x) за скобку:
x^2e^(2x) (3 + 2x) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки x1 = 0 и x2 = -3/2.

Для нахождения экстремумов функции произведем исследование функции на участках между критическими точками и вне их, подставляя значения x второй производной f''(x):
f''(x) = (6x + 6x^2)e^(2x).

f''(0) = 0, f''(-3/2) = -27e^(-3) < 0.

Таким образом, функция f(x) = x^3 • e^(2x) имеет максимум при x = 0.